Абстрактные математические теории помогают физикам понять, как устроен наш мир

Популярная механикаНаука

Как абстрактная математика помогает конкретной физике

Иногда на первый взгляд совершенно абстрактные математические теории помогают физикам-теоретикам понять, как устроен наш мир.

Алексей Левин

В год окончания Первой мировой войны двое немецких математиков геттингенской выучки опубликовали работы, имеющие огромное значение для теоретической физики. Одна из самых блестящих алгебраистов XX века Эмми Нётер представила доказательства двух знаменитых ныне теорем, связывающих законы сохранения различных величин (энергии, импульса, углового момента, заряда и т. д.) с симметриями уравнений, описывающих физическую систему.

Эти теоремы стали мощным и универсальным средством выявления подобных законов в ньютоновской и релятивистской механиках, в теории тяготения, электродинамике, квантовой теории поля и физике элементарных частиц.

Статья Германа Вейля «Гравитация и электричество», опубликованная не в Геттингене, а в Берлине, известна гораздо меньше. Между тем она и ее продолжение, вышедшее годом позже, положили начало чрезвычайно эффективному подходу к конструированию теорий микромира, который сформировался уже во второй половине XX века. С его помощью была создана объединенная теория трех фундаментальных взаимодействий, сильного, слабого и электромагнитного, которую назвали Стандартной моделью.

76580cb23dd0af790c9e7895ea7b0c40.jpg
Симметрия: глобальная и локальная. Комплексную волновую функцию каждой квантовой частицы можно представить в виде вектора, направление которого определяет фазу частицы. Глобальная симметрия означает, что если мы повернем вектора всех частиц, заполняющих пространство, в одном направлении на одинаковую величину, законы физики останутся теми же. Калибровочная симметрия представляет собой локальное преобразование – индивидуальный поворот фазы каждой частицы.

От сил к потенциалам

Как обычно и бывает, у Вейля имелись предшественники. В начале XIX века работы нескольких математиков, прежде всего Гаусса и Пуассона, преобразовали математический аппарат ньютоновской теории тяготения. В новой интерпретации она предстала как силовое поле, пронизывающее Вселенную. Это поле стали описывать гравитационным потенциалом — скалярной функцией, зависящей от пространственных координат, но не от времени. При этом сила тяготения в любой точке полностью определяется тем, насколько резко изменяется вблизи нее этот потенциал (то есть его градиентом).

Это нововведение обогатило математический аппарат небесной механики и других разделов физики, где приходится иметь дело с тяготением, но ввело в описание гравитации некую неопределенность. В законе Ньютона фигурируют силы тяготения, которые можно измерять непосредственно, и определяются они однозначно (в выбранной системе единиц). А вот значения гравитационного потенциала можно изменить на любую постоянную величину — градиент останется тем же. В те времена это выглядело тривиальным следствием математического формализма, не имеющим отношения к реальной физике.

Столетием позже таким же образом переписали классическую электродинамику. В первоначальной форме она была представлена уравнениями Максвелла, куда входят измеряемые на опыте напряженности электрического и магнитного поля. Эти уравнения тоже удобно выразить через потенциал, только более сложный, чем у ньютоновской гравитации (помимо скалярной части, в него входит вектор, определяющий величину магнитного поля).

Уравнения электродинамики в такой записи выглядят очень элегантно и естественно встраиваются в пространство-время специальной теории относительности. Однако они становятся неоднозначными, поскольку одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Например, к векторному потенциалу можно добавить любой постоянный вектор, а к скалярному — любое число.

Более того, эти добавки могут меняться и в пространстве, и во времени, лишь бы они были правильно связаны друг с другом, так что произвол в выборе электромагнитных потенциалов существенно больше, чем в случае ньютоновской гравитации. Физики и математики начала прошлого века прекрасно видели эту неоднозначность, но, как и предшественники, не придавали ей особого значения.

Калибровочные преобразования

Это свойство электромагнитных потенциалов имеет глубокий физический смысл. Их взаимные изменения компенсируют друг друга точно таким образом, чтобы сохранить в прежнем виде уравнения Максвелла. Неоднозначность выбора фактически отражает неразрывную связь между электричеством и магнетизмом.

5c6cbe8ecae18f118b5bb3bb3bc207c4.jpg
История физики связана с постоянным обобщением и объединением, казалось бы, весьма далеких друг от друга и никак не связанных между собой явлений. Каждая стадия такой унификации представляла собой значительное достижение теоретической физики, которое существенно облегчало наше понимание того, как устроена природа.

Преобразования потенциалов, не меняющих уравнений электромагнитного поля, называют калибровочными (этот термин тоже восходит к статьям Вейля) — как говорят физики, эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований. В квантовой электродинамике такая инвариантность, в соответствии с теоремой Нётер, влечет за собой закон сохранения электрического заряда. Таким образом, калибровочная инвариантность, несмотря на свой вроде бы формальный характер, открывает возможность заключений, имеющих прямой физический смысл!

И не только в отношении электромагнетизма. Принцип эквивалентности, на котором базируется общая теория относительности (ОТО), утверждает, что поле тяготения вызывает такие же физические эффекты, как и ускорение. Если недалеко от звездолета с работающим двигателем поместить тяготеющие массы, то в принципе можно полностью скомпенсировать импульсы двигателя и создать в кабине зону невесомости. Такая компенсация ускорений посредством переменного гравитационного потенциала аналогична взаимной компенсации изменений потенциалов электромагнитного поля. Это наводит на мысль, что уравнения ОТО должны подчиняться какому-то аналогу калибровочных преобразований.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

Пять лайфаков, которые облегчат работу с Windows Пять лайфаков, которые облегчат работу с Windows

Мы собрали хитрости, которые помогут сделать работу с Windows более комфортной

Популярная механика
Замена пластике! Почему всё больше женщин делают татуаж сосков Замена пластике! Почему всё больше женщин делают татуаж сосков

Думаешь татуаж — это только про лицо?

Cosmopolitan
Я, оно и сверх-я Я, оно и сверх-я

До чего доведет развитие искусственного интеллекта?

Цифровой океан
Интимные фото и драки: Волочкова и другие звезды, которые скандалят с соседями Интимные фото и драки: Волочкова и другие звезды, которые скандалят с соседями

От некоторых популярных личностей соседи мечтают переехать подальше

Cosmopolitan
Ветер перемен Ветер перемен

Современная история о морских путешествиях в интерьере московской квартиры

SALON-Interior
Ешь, спи, касайся: 7 простых способов сделать брак идеальным Ешь, спи, касайся: 7 простых способов сделать брак идеальным

Что надо делать, чтобы сохранить брак на долгие годы

Cosmopolitan
Путь семьи Тоёда Путь семьи Тоёда

Как Toyota дошла до вершины мирового автомобилестроения

Forbes
Блогерка публикует честные фото материнства, чтобы поддержать других женщин Блогерка публикует честные фото материнства, чтобы поддержать других женщин

Бриан Картер решила выложить снимки, чтобы выступить против фотошопа

Cosmopolitan
Мама — это в душе! Мама — это в душе!

Мама 34 детей — о своем обычном дне, альпаках и своих мечтах

ПУСК
Египет и Эфиопия решают судьбу Нила Египет и Эфиопия решают судьбу Нила

К каким последствиям приведет строительство эфиопской плотины

Эксперт
8 последних фотографий знаменитых людей 8 последних фотографий знаменитых людей

Вот восемь случаев, когда человек с фотоаппаратом оставил след в истории

Maxim
Потерять килограммы, но не растерять друзей Потерять килограммы, но не растерять друзей

Начав худеть, многие удивляются, что ряды друзей изрядно поредели

Здоровье
Когда папа стал мамой: необычные способы заботы о потомстве в животном мире Когда папа стал мамой: необычные способы заботы о потомстве в животном мире

Как заботятся о своём потомстве разные животные

Вокруг света
Предсказать будущее на 8 секунд Предсказать будущее на 8 секунд

Российский дата-сайнтист решал важную задачу в индустрии автономного вождения

Популярная механика
Генетики выявили три предковые группы современных японцев Генетики выявили три предковые группы современных японцев

Ученые секвенировали 12 древних геномов

N+1
Шарлиз Терон. Голова не в облаках Шарлиз Терон. Голова не в облаках

Ее признали самой сексуальной из ныне живущих женщин

Караван историй
«Вам предстоит колоссальная работа»: отрывок из книги «Страх и надежды» Эрика Ларсона «Вам предстоит колоссальная работа»: отрывок из книги «Страх и надежды» Эрика Ларсона

В 1940 году Адольф Гитлер вторгся в Голландию и Бельгию

Вокруг света
5 ошибок сооснователя Postoplan Алексея Божина 5 ошибок сооснователя Postoplan Алексея Божина

Сооснователь Postoplan — о том, как едва не лишился части компании

Inc.
Ненадежные автомобили на вторичке. Антирейтинг экспертов Ненадежные автомобили на вторичке. Антирейтинг экспертов

Какие из актуальных моделей могут доставить проблемы, если купить их с пробегом

РБК
3 способа сохранить и приумножить радость 3 способа сохранить и приумножить радость

Знаете ли вы, что яркие и теплые моменты можно сохранять и приумножать?

Psychologies
№5: в духе времени №5: в духе времени

О культурном феномене французского аромата

Vogue
Как выбрать пиджак, который хорошо сядет на фигуре, — главные правила и советы Как выбрать пиджак, который хорошо сядет на фигуре, — главные правила и советы

На какие нюансы обратить внимание, чтобы найти идеальную посадку пиджака

Cosmopolitan
Взгляд свысока Взгляд свысока

Настоящая спутниковая съемка — это петабайты цифровых данных

Цифровой океан
«Я и Брэдли очень строгие»: Ирина Шейк о воспитании 4-летней дочери от Купера «Я и Брэдли очень строгие»: Ирина Шейк о воспитании 4-летней дочери от Купера

Ирина Шейк рассказала об отношениях с бывшим возлюбленным и их ребенком

Cosmopolitan
5 «секретных» фраз, которые действуют на девушек лучше афродизиаков 5 «секретных» фраз, которые действуют на девушек лучше афродизиаков

Делимся с тобой сакральными знаниями о девушках

Playboy
Британский авианосец Queen Elisabeth: королева глобальной политики Британский авианосец Queen Elisabeth: королева глобальной политики

Авианосец Queen Elisabeth — самый большой в британской истории боевой корабль

Популярная механика
Авантюрный роман: Исключительные личности Авантюрный роман: Исключительные личности

Когда высший пост доставался неожиданным претендентам

Вокруг света
9 вопросов, которые улучшат вашу сексуальную жизнь 9 вопросов, которые улучшат вашу сексуальную жизнь

О чем следует спросить, чтобы ваш секс стал лучше?

Psychologies
6 мифов о вине, в которые давно пора перестать верить! 6 мифов о вине, в которые давно пора перестать верить!

Дегустаторы разбираются в вине? Чушь! Красное — только к мясу? Враки!

Maxim
Никто не услышит Никто не услышит

Звукоизолирующие межкомнатные двери

Идеи Вашего Дома
Открыть в приложении