Магия математики
Как найти Х и зачем это нужно
Для кого эта книга?
Даже если вы безнадежный гуманитарий, вы сможете узнать для себя много нового. Ведь «Магия математики» Артура Бенджамина – это не только набор занимательных математических трюков, это диалог с читателем о самой сути математики – возможно, элегантнейшей из наук. Вы увидите, что в ней существуют совершенно особые числа и формулы. Они не только позволяют исполнять алгебраические трюки, но и созвучны самому устройству Вселенной. Например, числа Фибоначчи являются основой золотого сечения. Эту гармоничную пропорцию мы видим изо дня в день и в природе, и в искусстве. Если вы хотите чуть больше узнать о настоящем волшебстве чисел, эта книга определенно для вас.
Вас очарует магия математики.
При простом упоминании о волшебниках, как правило, в голове возникает образ человека в цилиндре, твердящего «абракадабра» и по мановению волшебной палочки достающего из воздуха белых кроликов, голубей и носовые платки. Но без реквизита и за пределами грандиозного зрелища такая магия исчезает.
Если, конечно, вы не откроете для себя мир математики! Этот обзор показывает магию математических приемов во всей красе, и объясняет, как вы можете использовать некоторые из них для выполнения впечатляющих трюков и, казалось бы, невозможных вычислений в уме. Узнайте, что магию можно найти в числах (таких как число π), а также в понятии бесконечности.
Также вы узнаете:
- как легко в уме возвести в квадрат большие числа;
- как произвести впечатление на людей простым трюком на основе алгебры;
- почему натуральных чисел ровно столько, сколько четных.
Числовые закономерности – не какая-то разновидность магии: им легко можно найти практическое применение.
Математика – это больше, чем скучные учебники и кропотливые вычисления: это целый мир закономерностей, которые являются не только магическими, но и полезными.
Рассмотрим так называемые числовые закономерности – паттерны на основе чисел – и их удивительные и чудесные свойства.
Автор книги впервые обнаружил их в детстве, когда играл с парами чисел, из которых состоит число 20: например, 10 и 10, или 9 и 11.
Он задался вопросом: какое самое большое число можно получить, перемножая эти пары?
Давайте разберемся:
7 ⋅ 13 = 91
8 ⋅ 12 = 96
9 ⋅ 11 = 99
10 ⋅ 10 = 100
Итак, самое большое значение получается, когда оба числа равны 10. Ничего необычного, верно?
Но если присмотреться, в этих цифрах есть кое-что интересное. Изучите, как далеко каждый следующий результат от ста, и вы увидите последовательность: 0, 1, 4, 9. Это первые квадраты чисел, то есть числа, составляющие последовательностью 12, 22, 32 и так далее.
Эта закономерность применяется по всей шкале: если мы умножим 5 на 15, мы можем также получить 100, добавив 52. И более того, один и тот же паттерн возникает независимо от того, какое число составят пары при сложении!
Эти числовые закономерности работают не только в качестве магического трюка, от них есть польза в реальном мире. Если мы сможем узнать все их секреты, мы сможем использовать их, чтобы развить собственные способности к ментальной арифметике, то есть вычислениям, которые мы проводим в уме.
Например, мы можем использовать ранее приведенную закономерность, чтобы с легкостью вычислить квадрат числа.
Скажем, вы хотите возвести в квадрат число 13. Вместо того, чтобы умножать 13 на 13, что довольно сложно сделать в уме, мы можем выполнить более простой расчет 10 ⋅ 16, где оба числа складываются в 26, точно так же, как 13 и 13.
Теперь у нас есть 10 ⋅ 16 = 160, но это еще не все. Описанная нами закономерность говорит нам, что, поскольку мы прибавили и убавили 3 от каждого числа 13, нам нужно добавить 32 к результату. Таким образом, мы получаем 132 = (10 ⋅ 16) + 32 = 160 + 9 = 169.
Алгебра позволяет выполнять волшебные математические фокусы.
Теперь, когда вы знаете, что математика – настоящая магия, вы, вероятно, захотите научиться какому-нибудь фокусу, которым можно произвести впечатление на своих друзей. Итак, вот пример из математики, который вы можете применить. Выберите друга и проведите его через следующие 5 шагов:
- сначала попросите загадать два числа от 1 до 10,
- затем сложить эти числа вместе,
- умножить получившееся число на 10,
- добавить большее из задуманных чисел,
- вычесть меньшее из них,
– и назвать результат!
Теперь, следуя нашей технике, вы сможете удивить своего друга, мгновенно сообщив ему оба исходных числа!
Предположим, его ответ – 126. Возьмите последнюю цифру, в данном случае 6, и сложите с предыдущим числом, 12. А теперь разделите полученную сумму на 2, чтобы определить большее из задуманных другом чисел: (12 + 6) : 2 = 9.
Чтобы определить меньшее число, возьмите большее, которое вы только что вычислили – в данном случае 9 – и вычтите последнюю цифру его ответа, то есть 6.
9 – 6 = 3. Это оно! Но что за магия в этом фокусе? Это сила алгебры, форма арифметики, где вместо чисел появляются буквы.
Давайте разберемся в вычислениях, стоящих за нашим фокусом. Итак, пусть Х и Y будут двумя числами, где X ⩾ Y. Следуя алгоритму, описанному выше, мы получим:
Шаг второй: Х + Y, в нашем случае 9 + 3
Шаг третий: 10 ⋅ (Х + Y), 10 ⋅ (9 + 3) = 120
Шаг четвертый: 10 ⋅ (Х + Y) + Х, 10 ⋅ (9 + 3) + 9 = 129