Знаете ли вы, что подтолкнуло Леонарда Эйлера к созданию основ теории графов

Наука и жизньНаука

Пути и маршруты

Дмитрий Максимов

Город Кёнигсберг (Matthäus Merian 1650), Zedlers Universal-Lexicon, Band XV (K). Иллюстрация: www.hs-augsburg.de/bibliotheca Augustana

Мосты Кёнигсберга и Эйлеров путь

Знаете ли вы, что подтолкнуло английского математика Леонарда Эйлера к созданию основ теории графов? Ответ может показаться неожиданным: поиск решения задачи, связанной с мостами города Кёнигсберга.

Кёнигсберг (ныне Калининград) возник в XIII веке как три независимых поселения на островах и берегах реки Преголи. Он расположен между Польшей и Литвой на берегу Балтийского моря. Постепенно между поселениями налаживались активные торговые связи (хотя не обходилось и без военных конфликтов), поэтому возникла необходимость более тесного взаимодействия. В XIV веке началось строительство сразу нескольких мостов, и к концу XV столетия их было уже семь. Во многом благодаря мостам три независимых поселения слились в один большой город. Мосты стали его достопримечательностью, на них устраивали празднования, карнавалы, религиозные шествия.

Однажды местный житель, имени которого мы не знаем, задался вопросом: можно ли совершить прогулку по всему городу, пройдя по каждому мосту ровно один раз? Задача приобрела большую популярность, её задавали прибывшим в Кёнигсберг туристам и обязательно говорили о том, что такой маршрут есть — нужно только очень постараться его найти. Горожане, конечно, знали, что побывать во всех частях города, пройдя по каждому мосту всего один раз, невозможно. В этом легко было убедиться, просто перебирая разные маршруты.

Я. Э. Хандманн. Портрет Леонарда Эйлера. 1756 год. Иллюстрация: Wikimedia Commons/PD

В 1730 году задачей про мосты Кёнигсберга заинтересовался Леонард Эйлер (1707—1783), который решил её обобщить и найти ответ на вопрос: при каком условии мосты и острова образуют такую конфигурацию, что посетить каждый мост всего один раз можно, а при каком — нельзя? Эйлер задумался: о каком, собственно, математическом объекте идёт речь в этой задаче? Подходящих объектов, описывающих подобные ситуации, он не знал и придумал новый — граф.

Что такое граф? Это набор точек (они называются вершинами графа), некоторые из которых соединены линиями (не обязательно прямолинейными отрезками), называемыми рёбрами графа. Отметим, что геометрические свойства этих линий — прямые они или кривые, пересекаются или нет — не влияют на свойства графа. Важно лишь то, какие именно вершины с какими соединены.

Приведём наглядный пример. Представим себе нескольких человек — они будут вершинами графа. Если двое из них знакомы, будем считать, что их связывает ребро. Изображать граф можно разными способами хотя бы потому, что люди, например, могут находиться в разных местах. Граф будет получаться один и тот же, даже если картинка меняется. Например, если четыре человека знакомы друг с другом, то граф, соответствующий этой ситуации, можно изобразить разными способами: как квадрат с диагоналями и как треугольник с точкой внутри (рисунок слева). Картинки получаются совершенно разными, но граф, изображённый на них, один и тот же. Это полный граф с четырьмя вершинами (полными называются графы, в которых присутствуют все возможные рёбра).

Полный граф с четырьмя вершинами в виде: квадрата с диагоналями (слева) и треугольника с точкой внутри (справа).

Другой пример графа, с которым знакомо большинство читателей, — карта авиалиний. Вершины его — города, а рёбра — рейсы некоторой связывающей их авиакомпании. Такой граф обычно представлен на её сайте или в рекламном буклете. По карте легко узнать, какими маршрутами можно долететь из одного города в другой.

Но вернёмся к решению задачи о мостах. Эйлер представил карту мостов в виде графа: рёбра — мосты, а острова и берега — вершины. Правда, некоторые пары вершин получившегося графа оказались соединены двумя рёбрами (такие рёбра называются кратными), но это не важно. Для каждой вершины — вслед за Эйлером — посчитаем количество выходящих из неё рёбер. Такое число называется степенью вершины. У вершин B, C и D степень равна трём, а у вершины A — пяти.

Авторизуйтесь, чтобы продолжить чтение. Это быстро и бесплатно.

Регистрируясь, я принимаю условия использования

Рекомендуемые статьи

6 признаков глупого человека 6 признаков глупого человека

Как понять, кого нужно избегать? Да и нужно ли на самом деле?

Psychologies
Сад художника Сад художника

Мы решили найти место, словно сошедшее с картин импрессиониста Клода Моне

Лиза
В поиске космических катастроф. Вахта телескопов-роботов В поиске космических катастроф. Вахта телескопов-роботов

Оптические телескопы системы МАСТЕР помогают астрономам разных стран

Наука и жизнь
«Мама, я — англичанка, а ты — русская»: чему учат русских детей в Лондоне «Мама, я — англичанка, а ты — русская»: чему учат русских детей в Лондоне

Ольга Брамли рассказала, почему она против английских школ-интернатов

РБК
Анна Седокова Анна Седокова

Наверное, она уже привыкла к эпитетам «горячая», «аппетитная», «сочная»

Playboy
Грек на душу Грек на душу

Если хочется тепла, песка и голубого неба – нужно ехать в Грецию!

Cosmopolitan
Грозовой реактор Грозовой реактор

Физики обнаружили, что грозы порождают в атмосфере позитроны и изотопы

Наука и жизнь
Синие волосы – оттенки, краски и тоники для волос Синие волосы – оттенки, краски и тоники для волос

Мода на яркие оттенки вызвала всплеск популярности ярких красок для волос

Cosmopolitan
Алюминиевый век Алюминиевый век

История учит нас, что человечество достигло настоящей цивилизации

Наука и жизнь
Что такое быстрый и медленный сон и как правильно спать? Что такое быстрый и медленный сон и как правильно спать?

Почему так важен крепкий продолжительный сон и как улучшить его качество

Cosmopolitan
Трагедия Эйнштейна, или счастливый Сизиф Трагедия Эйнштейна, или счастливый Сизиф

Очерк второй. Эйнштейн против Паули. Единая теория поля

Наука и жизнь
10 знаменитостей, которых опасно искать в интернете 10 знаменитостей, которых опасно искать в интернете

Рассказываем, кого следует искать с наибольшей осторожностью

РБК
Шпионские штучки Шпионские штучки

Самые запоминающиеся гаджеты Джеймса Бонда

Популярная механика
Играем по структурным нотам Играем по структурным нотам

Рынок структурных продуктов выходит на новый уровень

Эксперт
Первый холокост Первый холокост

Религиозный фанатизм крестоносцев первыми ощутили на себе евреи

Дилетант
Параллельные истории. Как фильм про Анну Франк объединяет Холокост и современные проблемы миграции Параллельные истории. Как фильм про Анну Франк объединяет Холокост и современные проблемы миграции

Почему история девочки на войне напоминает нам о проблемах сегодняшнего дня

Forbes
Искусство лени Искусство лени

О личной эффективности говорят все, но мало кто вспоминает о пользе безделья

Psychologies
Эпизод шестой: Шантаж и римский вопрос Эпизод шестой: Шантаж и римский вопрос

Папа ошибается с изданием Библии и шантажирует премьер-министра Италии

Esquire
Андрей Филатов: «Цифровизация — это инструмент выживания» Андрей Филатов: «Цифровизация — это инструмент выживания»

Почему именно сейчас цифровизация стала таким мощным инструментом выживания

РБК
И жили они недолго и несчастливо: как мечты об идеальном браке рушат семьи И жили они недолго и несчастливо: как мечты об идеальном браке рушат семьи

Бессмысленно спорить о том, нужен ли брак современной женщине

Cosmopolitan
Наследник всех своих родных. Вправе ли Россия отделять себя от СССР Наследник всех своих родных. Вправе ли Россия отделять себя от СССР

Судья Арановский затрагивает нравственную дилемму отделения России от СССР

СНОБ
Красавица-каннибал: Омайма Нельсон — модель, ставшая убийцей Красавица-каннибал: Омайма Нельсон — модель, ставшая убийцей

Омайма Нельсон из Египта убила своего мужа хладнокровно и с особой жестокостью

Cosmopolitan
Безопасный воздух: как рождались войска ПВО и ПРО Безопасный воздух: как рождались войска ПВО и ПРО

Использовать летательные аппараты в боевых действиях стали в конце XVIII века

Популярная механика
Стриминг не ждет Стриминг не ждет

Убьют ли видеоплатформы телевидение и кинопрокат?

Огонёк
Как пользоваться акриловой пудрой для укрепления ногтей Как пользоваться акриловой пудрой для укрепления ногтей

Тонкие поврежденные ногти быстро ломаются и не держат маникюр?

Cosmopolitan
Сели на шею Сели на шею

Аккуратный отложной воротничок — ваш билет в счастливое детство

Vogue
Как поддержать себя, когда не на кого опереться Как поддержать себя, когда не на кого опереться

О способах получить эмоциональную поддержку в трудный период жизни

Psychologies
Энджой. Мальчик, который молчит Энджой. Мальчик, который молчит

Мальчик не хочет разговаривать, но, кажется, он что-то видел и что-то знает

СНОБ
5 неожиданных вещей, которые спровоцировали массовые бунты 5 неожиданных вещей, которые спровоцировали массовые бунты

Первопричины бунтов могут быть крайне нелепыми

Maxim
Дело «Сети»* как зеркало, но не революции Дело «Сети»* как зеркало, но не революции

Почему за нереальные преступления дают нереальные сроки

Русский репортер
Открыть в приложении